Consulta: Factorización de trinomios cuadrados perfectos

Héctor pregunta:
Me gustaría saber cómo puedo factorizar los siguientes términos:
9x² + 12x + 4
25x² + 30x + 9
100x² + 80x + 16
4x² + 32x + 64
9x² + 54x + 81
Hace muchos años pasé por la secundaria y no me acuerdo cómo se hacen las factorizaciones y requiero ayudar a mi hija y por lo tanto requiero reaprender lo ya estudiado. Saludos.


Hola Héctor, todos los ejemplos que envías son trinomios cuadrados perfectos. El primer y el tercer término son cuadrados. El segundo se puede obtener como el doble del producto de las raíces del  primero y el tercero.

Ejemplificando:
100x² + 80x + 16
La raíz cuadrada del primer término 100x² es 10x
La raíz cuadrada del tercer término 16 es 4
El segundo término 80x se puede obtener si multiplicas (2)(4)(10x) = 80x

Como cumple la condición anterior, entonces es un trinomio cuadrado perfecto y se factoriza así:
100x² + 80x + 16 = (10x + 4)²

Esto mismo aplica para todos los demás. Otro ejemplo:
9x² + 54x + 81
9x² -----> 3x
81 -----> 9
2(3x)(9) = 54x
9x² + 54x + 81 = (3x + 9)²

Puedes comprobar estos resultados usando la calculadora producto de polinomios en schollaris.com.mx/010102operaciones.php

Estos ejemplos se pueden complicar un poco si te ponen signos negativos o te dan desordenado el polinomio, pero la idea básica se mantiene. Si no se cumpliera la condición del segundo término entonces no es trinomio cuadrado perfecto y se factoriza diferente.

Consulta: Raíces de polinomios

Hernán pregunta:
No sé cómo factorizar polinomios de grado superior cuando los posibles ceros (submúltiplos del término independiente) no cumplen la condición en la prueba de la división sintética ni el teorema del residuo. Ej: x³ - 2x² - 5x + 3 . Gracias por su ayuda.


Buen día Hernán, para el ejemplo que comentas, las raíces no son enteras, son irracionales. Este tipo de ecuaciones son muy difíciles de resolver. Para el caso de un polinomio de grado 3 tienes la suerte de poder usar la ecuación general (Un ejemplo lo puedes ver en Wikipedia - Ecuación de tercer grado). Para grados mayores es común utilizar métodos numéricos (usas programas como Matlab o Mathematica). Siempre te va a ser muy útil graficar la ecuación para saber si hay raíces reales. Para empezar puedes usar como plantilla para graficar este archivo de excel.

Consulta: División sintética

Eduardo pregunta:
Solo me queda la duda de cómo sacar el valor de "a" (divisor) para la división sintética.


Buen día Eduardo, la división sintetica se limita sólo a los casos en los cuales el divisor es de la forma x + a ó x - a , para otros casos se debe usar la división de polinomios convencional. Es importante que sea x y no sea 2x o 3x o algún otro valor. Si el divisor es 5x + 8 no lo puedes usar para la división sintética.
Para la calculadora de Schollaris solo inviertes el signo. Por ejemplo, si el polinomio que divide es x - 7, entonces a = 7; si el polinomio es x + 4 entonces a = -4.

Consulta: Sistema de numeración posicional

Verónica pregunta:
Nuestro sistema de numeración (en el que se ha escrito el número 178601), es posicional. ¿Por qué?


Hola Verónica, se dice que el sistema es posicional por que cada una de las cifras toma una valor de acuerdo a la posicion (entre más a la izquierda, más vale). Para el caso que comentas, el número 178601:

El primer 1 vale 100000, porque está en la posición de las centenas de millar,
el 7 vale 70000,
el 8 vale 8000,
el 6 vale 600,
el 0 nunca tiene valor, sin importar donde esté, solo se usa para denotar ausencia de valor,
el segundo 1 vale sólo 1, porque está en la posición de las unidades.

Si sumamos el valor de todos las cifras tenemos
100000 + 70000 + 8000 + 600 + 1 = 178601